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抽到的签能给别人看吗(抽签送礼物的游戏)

放大字体  缩小字体 发布日期:2023-11-30 17:14:55
导读

中学的时候,老师组织过一次别开生面的“礼物交换”:每个人把自己的名字写在纸条上,然后把纸条放在一起,让大家各抽一张。每人要给自己抽到的那个人写一张新年卡片,或者准备一个小礼品。那时候我就在想:我会抽到自己吗?要是有人抽到了自己,岂不是很尴尬?这样的可能性当然是存在的。而这个游戏稍作变化,就会变成日剧《轮到你了》中出现的一个关键情节——13名公寓楼住户在参加住户大会时,所有人在一张纸条上写下自己最希

中学的时候,老师组织过一次别开生面的“礼物交换”:每个人把自己的名字写在纸条上,然后把纸条放在一起,让大家各抽一张。每人要给自己抽到的那个人写一张新年卡片,或者准备一个小礼品。

那时候我就在想:我会抽到自己吗?要是有人抽到了自己,岂不是很尴尬?

这样的可能性当然是存在的。而这个游戏稍作变化,就会变成日剧《轮到你了》中出现的一个关键情节——13名公寓楼住户在参加住户大会时,所有人在一张纸条上写下自己最希望杀死的人的名字(写谁都可以,不限于现场的人),之后进行抽签,相当于“交换杀人”。但没有想到的是,之后纸条上写的人真的开始一个接一个地死去,事件开始向不可控制的方向发展……

众人抽签 | 《轮到你了》

这里有一个问题就是,所有人写纸条并抽签时,有多大的可能性没有人会抽到自己写的纸条呢?

在第7集中,202住户、数学专业学生黑岛沙和(西野七濑饰)就对这个问题进行了计算,并得出了正确答案。

数学专业学生黑岛沙和 | 《轮到你了》

“没有人抽到自己纸条”的概率约为36.7%,既至少一个人抽到自己纸条的可能性是63.3%。

黑岛计算结果 | 《轮到你了》

那这个结果是怎么算出来的呢?

我们来考虑一下,参加人数为不同的数目时,“没有人抽到自己纸条”这种情况,可能会出现多少种不同的排列方式。

1

如果参加游戏的只有1个人

如果参加游戏的只有一个人,那么ta必定会抽到自己的纸条。“没有人抽到自己纸条”的情况数是0。

2

如果参加游戏的有2个人

假设这两个人是a和b,那么“没有人抽到自己纸条”的情况数是1,a抽到b写的纸条,b抽到a写的纸条。

3

如果参加游戏的有3个人

参加游戏的a,b和c这3个人,“没有人抽到自己纸条”的情况数是2,其中,

i. a抽到b写的纸条(这时还剩下a写的纸条,和c写的纸条),b抽到c写的纸条,c抽到a写的纸条,这是第一种情况。

ii. a抽到c写的纸条(这时还剩下a写的纸条,和b写的纸条),b抽到a写的纸条,c抽到b写的纸条,这是第二种情况。

因为考虑的情况是“没有人抽到自己纸条”,能够看出,这就是全部的可能情况了。

《轮到你了》剧照

4

如果参加游戏的有4个人

要像刚才那么数,就有点复杂了。

先明确条件,A,B,C,D四个人,每个人都不能抽到自己写的纸条。比如B不能抽到自己写的条,允许抽到A、C、D写的条。

这时,我们可以改换一下思路。由于A不能抽到自己写的纸条,先假设A拿到了B的纸条。这时候,我们的问题实际上转化为了两种情况:

情况一:

BCD三个人,来抽A写的纸条(记为a)、C写的纸条c、D写的纸条d这3张纸条,抽的时候都没有抽到对应的纸条;BCD三个人抽acd三张纸条,其实跟BCD三个人抽bcd三张纸条是一个意思。只不过,原来我们规定的是,B不能抽到b纸条,而现在我们把这个规定改为了,B不能抽到a纸条.

情况二:

B当然是可以抽到a纸条的,这种情况要单独计算,这时B抽到了a纸条,CD两个人抽纸条,没有抽到自己。

仔细想想,这不就是“3个人抽签没有抽到自己”+“2个人抽签没有抽到自己”?这两者我们前面都算过了,加起来,这就是“A拿到了B的纸条”这种情况下的全部可能情况数。然后把前置条件“A拿到了B的纸条”再推及到别的情况,一共有三种(A拿到了B、C、D的纸条)。

于是,4个人的游戏中,“没有人抽到自己纸条”的情况数,就是3*(2+1)=9。

以此类推,若参加游戏的是5个人,“没有人抽到自己纸条”的情况数是4*(9+2)=44,6个人,则是5*(44+9)=265,7个人是6*(265+44)=1854。

现在我们来计算一下概率。7张纸条随意排列,排列情况总数是7!共5040种。而1854/5040=0.367857……

这个数字,已经很贴近剧中数学系住户算出来的数字了。而当 n 继续增大时,这个概率数字会快速收敛到 1/e = 0.367879……(e为自然对数的底)。

装错信封问题

这种排列,数学上叫做“全错位排列”。或许你也发现了,我们刚刚其实是使用了递推的方式,把全错位排列可能数目记为Dn,推导出了Dn=(Dn-1+ Dn-2)*(n-1)。

实际上,这个问题属于组合数论的范畴,又称为“装错信封问题”。“装错信封问题”是由瑞士数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli,1700-1782)提出来的,瑞士数学家欧拉(Euler)等也研究过这个问题。大意为:

n封不同的信及相应的n个不同的信封,把这n封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?

可以看出,这个描述中蕴含的数学问题,其实跟写字条后抽签是一样的,也可以用多种不同的方法来描述。比如我把n 张扑克牌打乱,然后发牌,如果出现发牌次序数=牌面数字的情况,我就赢了,比如发第3张牌时,牌面是3,那么我有多大可能赢?

这个概率,你现在知道了——如果牌足够多,那可以说这个概率约等于1-0.367 ,即0.633,且会向1-1/e无限靠近。

还可以再换个说法,这个描述等价于:

把数字1 ~ n放入序号1 ~ n的格子中,数字1不能放入序号1的格子,数字2不能放入序号2的格子……数字n不能放入序号n的格子。

一下就想起中学时的组合数学题了是不是。

推导开始

好了!以下是数学学霸专用高能时间,请准备好之后再打开。

/*

别怕,其实运算只有加减乘除和阶乘,往下看就知道了!

*/

剧中,202室住户、数学系学生黑岛沙和写的公式,正是全错位排列的排列数目的计算公式。

黑岛沙和的公式 |《轮到你了》

排列数目= n! *( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n *1/n! )

由于n个纸条随机排列,分给n个人的总的排列可能数目是n!。

全错位排列数目/总的可能排列数目,就是全错位排列的概率,也就是:

( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n *1/n! )

实际上,这正是 1/e 的麦克劳林展开式 (泰勒展开式的一种特殊形式),当n增大时,这个数字会迅速收敛到 1/e。

作者供图

这也就是剧中黑岛沙和写的这个公式了,剧中参与游戏的有13个人,n为13。

《轮到你了》剧照

n! * ( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n*1/n! ) ,这个全错位排列的出现数目的公式,可以有多种证明。把全错位排列可能数目记为Dn,我们上面已经使用递推的证明方法,证明了Dn=(Dn-1+ Dn-2)*(n-1)。这时,其实证明已经大体完成了。

有了Dn=(n-1)(Dn-1+ Dn-2),就可以比较容易地推出Bernoulli-Euler装错信封问题的通项公式:

由于Dn=(n-1)(Dn-1+ Dn-2),

Dn + Dn-1 = (n-1)(Dn-1+ Dn-2)+ Dn-1 = n*Dn-1 -Dn-1 + (n-1)Dn-2 + Dn-1 = n*Dn-1+ (n-1)Dn-2

也就是,Dn- n*Dn-1 = - Dn-1 + (n-1)Dn-2

Dn -n*Dn-1 = - [Dn-1 - (n-1)Dn-2 ],

从这个式子,我们有,

D3 - 3*D2 = - [D2 - 2D1 ]

D4 - 4*D3 = - [D3 - 3D2 ] = -1 * -1 * [D2 - 2D1 ]

D5- 5*D4 = - [D4- 4D3 ] = -1 * -1 * -1 * [D2 -2D1 ]

这表明,Dn- n*Dn-1,是以D2 - 2D1 = 1 (因为D1= 0,D2= 1,D3= 2,D4=9 ......)为首项,公比为-1的等比数列。

于是,Dn- n*Dn-1= (-1)n-2 ,故Dn= n*Dn-1+(-1)n,n≥2 n为正整数。

作者供图

Dn/n! = (-1)2* (1/2!) + (-1)3* (1/3!) + ...... + (-1)n-1* (1/n-1!) + (-1)n* (1/n!)

这个公式实际上可以进一步化简为 Dn= (n!/e + 0.5),e为自然对数的底。

回过头来看一下,这正是第8集里202住户、数学系学生黑岛沙和写的公式。

《轮到你了》剧照

在第二季中,入住304房间的新人物二阶堂忍与202住户黑岛沙都就读于国际理工大学,二阶堂忍是研究生,正在研究AI人工智能。第二季剧情中,他在帮助男主角用AI程序分析目前的数据,对凶手特征做测写。

新来的研究人工智能的住户和黑岛 |《轮到你了》

总之,让我们期待两名学生的表现吧,也希望之后给大家带来更多数学科普,大家准备好小铅笔一起来算吧!

作者:小青

编辑:李子,樟脑玩

数学审核:gsx

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